Infodomestic: Proprietà delle trasformazioni degli spinori

Torneremo sulle trasformazioni improprie più avanti; per ora osserviamo che la trasformazione (2.34) non è, come nel caso tridimensionale, unitaria (è una conseguenza della metrica pseudoeuclidea dello spazio di Minkowsky). Esaminiamo i generatori della trasformazione; dalla (2.33) si ha che:

$\displaystyle (\sigma^{\alpha\beta})^\dagger=\left({i \over 2} [\gamma^\alpha,... ...r(\gamma^\alpha)^\dagger - (\gamma^\alpha)^\dagger(\gamma^\beta)^\dagger \big)$

e adesso possiamo sfruttare la (2.21) che ci dice che:

$\displaystyle (\sigma^{\alpha\beta})^\dagger= -{i \over 2} (\gamma^0\gamma^\bet... ...er 2} \gamma^0 (\gamma^\beta\gamma^\alpha- \gamma^\alpha\gamma^\beta) \gamma^0$

da ciò è banale osservare che:

$\displaystyle (\sigma^{\alpha\beta})^\dagger={i \over 2} \gamma^0[\gamma^\alpha,\gamma^\beta]\gamma^0 = \gamma^0\sigma^{\alpha\beta}\gamma^0$

(3.35)

adesso se consideriamo i generatori delle rotazioni tridimensionali questa diventa:

$\displaystyle (\sigma^{ij})^\dagger={i \over 2} \gamma^0 [\gamma^i,\gamma^j]\gamma^0$

ma dalle regole di anticommutazione sappiamo che $\gamma^0$ anticommuta con le $\gamma^i$ per cui lo si può portare da sinistra a destra anticommutando due volte (quindi senza cambiare segno) e semplificare, per cui alla fine sia ha:

$\displaystyle (\sigma^{ij})^\dagger=\sigma^{ij}$

dunque i generatori delle rotazioni sono hermitiani; se consideriamo invece i generatori dei boost di Lorentz sarà:

$\displaystyle (\sigma^{0i})^\dagger={i \over 2} \gamma^0 [\gamma^0,\gamma^i]\ga... ...mma^0\gamma^i\gamma^0\gamma^0)= {i \over 2}(\gamma^i\gamma^0-\gamma^0\gamma^i)$

e dunque si vede subito che:

$\displaystyle (\sigma^{0i})^\dagger=-\sigma^{0i}$

cioè sono antihermitiani.

Nella rappresentazione di Dirac possiamo calcolare esplicitamente le $\sigma^{\alpha\beta}$ e si ottiene che hanno la forma:

$\displaystyle \sigma^{0i}=i \begin{pmatrix}0&\sigma_i \cr \sigma_i& 0 \cr \end{... ...a^{ij}=\epsilon_{ijk} \begin{pmatrix}\sigma_k& 0\cr 0&\sigma_k\cr \end{pmatrix}$

(3.36)

e le proprietà precedenti sono evidenti.

Adesso vediamo cosa succede con le matrici di trasformazione; una prima cosa che si può vedere è che se consideriamo rotazioni pure si ha che:

$\displaystyle S_R=\left( e^{-{i\over 4}\sigma_{ij}\omega^{ij}}\right)^\dagger= ... ...i\over 4}\sigma_{ij}^\dagger\omega^{ij}}= e^{{i\over 4}\sigma_{ij}\omega^{ij}}$

e quindi $S_R^\dagger=S_R^{-1}$ quindi

è unitaria, mentre se consideriamo boost di Lorentz puri

si ha:

$\displaystyle S_L=\left( e^{-{i\over 4}\sigma_{0i}\omega^{0i}}\right)^\dagger= ... ...\over 4}\sigma_{0i}^\dagger\omega^{0i}}= e^{-{i\over 4}\sigma_{0i}\omega^{0i}}$

dunque $S_L=S_L^\dagger$ quindi

è hermitiana; in generale poi potremo dare una legge analoga alla (2.35); infatti con essa possiamo scrivere:

$\displaystyle S(\Lambda)^\dagger=\left( e^{- {i\over 4} \sigma_{\alpha\beta}\om... ...eta}}= e^{{i\over 4} \gamma^0\sigma_{\alpha\beta}\gamma^0\omega^{\alpha\beta}}$

che espansa in serie ci da:

$\displaystyle S(\Lambda)^\dagger= \un + {i\over 4} \omega^{\alpha\beta} \gamma^... ...pha\beta}\right)^n \left(\gamma^0\sigma_{\alpha\beta}\gamma^0\right)^n +\cdots$

ma evidentemente si ha:

$\displaystyle \left(\gamma^0\sigma_{\alpha\beta}\gamma^0\right)^n= \underbrace{... ...pha\beta}\gamma^0 }_{\hbox{$n$ volte}}= \gamma^0\sigma_{\alpha\beta}^n\gamma^0$

(semplificando i $\gamma^0\gamma^0=\un$ interni) dunque la precedente si può riscrivere, e raccogliendo tutti i $\gamma^0$ agli estremi, come:

$\displaystyle S(\Lambda)^\dagger=\gamma^0\left( \un + {i\over 4} \omega^{\alpha... ...0\left( e^{{i\over 4}\sigma_{\alpha\beta}\omega^{\alpha\beta}}\right) \gamma^0$